[선형대수] 2-7. 전사함수와 일대일함수

1. 전사함수 (ONTO Mapping)

: 매핑 T:R^n→R^m에서 모든 b∈R^m이 적어도 하나의 x∈R^n에 대한 이미지(b=T(x))일 때

즉 , 전사 함수는 공역(Codomain)의 모든 원소가 적어도 하나의 치역(Range)에 대응되는 경우를 말한다

 

 

• 핵심 특징: 치역(Range)과 공역(Codomain)이 일치해야 합니다.
• Onto가 아닌 경우: 치역이 공역(Rm)의 일부 공간(예: 3차원 내의 평면)에만 머무를 때.
• Onto인 경우: 치역이 공역 전체를 꽉 채울 때.

 

-> 공역이 모두 치역에 대응해야함 

-> 정의역 개수> 공역의 개수

 

 

2. 일대일 함수 (One-to-one Mapping)

: 매핑 T:R^n→R^m에서 각 b∈Rm이 최대 하나의 x∈R^n에 대한 이미지일 때, 이를 One-to-one이라고 한다.

 

• 핵심 특징: 치역 내의 각 출력 벡터는 단 하나의 입력 벡터에 의해서만 결정됩니다.
• 시각적 이해:
  
  • One-to-one이 아닌 경우: 서로 다른 여러 입력값이 하나의 출력값(0 등)으로 모이는 경우.
  • One-to-one인 경우: 모든 입력이 각각 고유한 출력값으로 퍼져나가는 경우.

=> x1= x2 이면 f(x1) = f(x2)

=> x값 1개에 y값 1개, 절대 다른 x가 같은 y를 가지면 안됨

3. 인공신경망(Neural Network) 예시

 

• 입력(x): 체중, 키, 흡연 여부 
• 은닉층(y): 과체중, 키 크고 흡연함
• 출력(z): 기대 수명 
• 분석 질문:
•  One-to-one 확인: "여러 사람이 동일한 (과체중, 키 크고 흡연함) 상태로 매핑되는가?" 

즉, 여러 사람의 데이터가 동일한 상태(값)으로 맵핑되는가?"를 통해 고유성을 확인 같은 값 여러 에서 나오면 안 됨

(결과가 겹치는지) 확인

• Onto 확인: "존재할 수 없는 (과체중, 키 크고 흡연함) 조합이 있는가?" 

즉 , 우리가 설정한 특징 조합() 중에서 실제로 존재하지 않는 경우가 있는가?"를 통해 공역 빠진 결과가 있는지 확인

 

 

4. 선형 변환과 행렬의 관계 (핵심 판별법)

: 선형 변환 T(x)=Ax에서 행렬 A의 성질을 통해 바로 판별 가능

• One-to-one 판별: 행렬 A의 열(Columns)들이 선형 독립(Linearly Independent)일 때.
• Onto 판별: 행렬 A의 열들이 **Rm을 생성(Span)**할 때.

 

 

5. 예제

예제 1

 

• 두 열벡터가 선형독립이여서 one-to-one 맞음
• T가 R^3 위로의 전사 함수가 되려면 행렬 A의 열들이 R3 전체를 Span해야 합니다. 하지만 2개의 열 벡터로는 최대 2차원 평면만 만들 수 있으므로, 3차원 공간인 R^3 전체를 채울 수 없습니다=> 전사함수 아님

예제 2

• 열의 개수 n이 행의 개수 m보다 많으면 항상 선형 종속이다  따라서 one-to-one 아님
• 선형 독립이며 R2 전체를 Span할 수 있음. 공역 R^2의 모든 벡터를 표현할 수 있으므로 전사 함수가 맞음