[선형대수] 2-5. 부분공간의 기저와 차원

고려대학교 주재걸 교수님의 부스트코스 "인공지능을 위한 선형대수"를 공부한 내용입니다.

이번 차시에는 부분공간의 기저와 차원 강의를 듣고 작성했습니다.

 

부분공간의 기저와 차원

1. 부분공간(Subspace)

: 선형결합에 대해 닫혀 있는 벡터 집합

: 벡터들을 계속 선형결합해도 그 공간을 벗어나지 않는 공간

 

 

• u1,u2∈H
• 임의의 스칼라 c,d

를 만족하면 부분공간

 

• Span은 항상 부분공간이다

왜냐하면 span 자체가 선형결합으로 만들어진 집합이기 때문이다.

 

 

2. 기저(Basis)

: 특정 부분공간을 표현하기 위해 필요한 최소한의 벡터 집합

 

조건

1. Fully spans: 공간을 모두 생성 (span)
2. Linearly independent: 서로 선형독립 (중복 없음)

예시

• v3=2v1+3v2 즉 v3v3는 이미 만들어지는 벡터
• {v₁, v₂} → 기저 o
• {v₁, v₂, v₃} → 기저 x

 

3. 차원 (Dimension)

: 기저에 포함된 벡터 개수

: Basis는 여러 개 존재할 수 있지만 Basis에 포함된 벡터의 개수는 항상 같음

 

예시

• 초록색 평면을 부분공간 H
• Basis(기저): {v₁, v₂} 
• Basis 벡터의 개수: 2개

 

4. 행렬과 부분공간: Column Space

: 행렬 A의 column space는 열벡터들이 만드는 span

 

 

5. 선형종속과 차원의 관계

 

 

6.Rank (랭크)

: 행렬이 만들어내는 공간의 차원

: 행렬에서 서로 독립적인 열벡터의 개수