[선형대수] 2-3. 선형결합(Linear Combinations)

고려대학교 주재걸 교수님의 부스트코스 "인공지능을 위한 선형대수"를 공부한 내용입니다.

이번 차시에는 선형결합 강의를 듣고 작성했습니다.

 

 

선형결합(Linear Combinations)

 

1. 선형결합Linear Combinations

: 여러 벡터가 있을 때, 각각에 숫자(계수)를 곱해서 더한 것

 

• c: 스칼라 (가중치)
• v: 벡터

 

 

 

 

 

=> 즉 쉽게 말하면 “재료 벡터들을 섞어서 새로운 벡터를 만드는 것”

 

이제 식으로 보자

백터방정식

 𝐴𝐱 = 𝐛

 

여기서 x1a1+x2a2+x3a3=b는 𝐴𝐱 = 𝐛를 나열해서 풀어 쓴 것이다.

 

즉, b는 A의 열벡터들의 선형결합이다.

 

 

2. span

: 재료 벡터들로 만들 수 있는 모든 선형결합의 집합

 

⭐ 해가 존재하는 조건  ⭐

Ax=b 이 식이 풀린다는 건 무슨 뜻일까?

=> b가 a₁, a₂, a₃의 span안에 있어야 한다

 

span의 기하학적 설명

 

• 평면의 형성: 두 벡터의 모든 선형결합은 하나의 평면을 이룸
• 원점 포함: 이 평면은 반드시 원점을 지남
• 직선 포함: 이 평면 안에는  v1방향으로 뻗은 직선과 v2방향으로 뻗은 직선 모두 포함

 

3. Geometric Description of Span

⭐ 해가 존재하는 조건  ⭐

Ax=b 이 식이 풀린다는 건 무슨 뜻일까?

=> 결과백터 b가 a₁, a₂, a₃의 span안에 있어야 한다

 

즉, 주어진 벡터 𝐚 1, 𝐚 2, 𝐚 3의 선형 조합 찾기(span) 그 span 안에 b가 있다.

 

 

3. Matrix Multiplication의 다양한 해석

 

1) 내적관점 :

• 왼쪽 행 × 오른쪽 열

2) 열관점

3) 행관점

4) 외적관점

• (Rank-1) 외적(Outer Product) : 열벡터와 행벡터를 곱해 하나의 행렬을 만듦

• Sum of (Rank-1) outer products : 전체 행렬 곱은 외적 결과물을 모두 합친 것과 같음