[선형대수] 2-4. 선형시스템 및 선형변환

고려대학교 주재걸 교수님의 부스트코스 "인공지능을 위한 선형대수"를 공부한 내용입니다.

이번 차시에는 선형시스템 및 선형변환 강의를 듣고 작성했습니다.

 

선형시스템 및 선형변환

1. 선형독립(Linear Independence) vs 선형의존(Linear dependence)

선형독립

(practical defriton) p개의 백터들을 하나씩 늘릴 때 그 백터가 재료백터의 span 안에 들어오지 못하는 경우

(formal defaiten) 벡터공간의 부분집합에서, 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 없을 때

선형의존

(practicaldefriton)

(formal defaiten) 백터 집합이 서로 ‘독립’하지 못해, 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 있는 상태

 

선형 독립일 경우

𝑥1 v 1+ 𝑥 2v2 ⋯ + 𝑥 nv n= 𝐎

위 식을 만족한다

 

=> 가중치는 0이 만족할 경우 적어도 하나의 해를 가진다

 

 

예) 선형 종속인 집합은 특정 벡터를 나타내는 선형 결합의 경우의 수가 매우 많다

3 V1+2V2+V3 =0 라는 해가 있을 때,

•  V3=3V1+2V2 라는 종속 관계가 성립시 또 다른 해를 구할 수 있다.
• 5V1+5V2+0V3 =0 
• 이런 식으로 식을 조작 시 다른 형태의 해를 계속 찾아낼 수 있다.

기하학적 관점

 

• 벡터 2개가  평면 생성했을 때
• (span 형성)그 위에 v₃가 있으면→ 종속
• 즉, 선형종속 벡터는 새로운 차원을 만들지 못함(평면 안에 들어가기 때문)

=> v₃가 Span{v₁, v₂}에 종속된다면, Span{v₁, v₂} = Span{v₁, v₂, v₃}이 성립함

 

 

Ax=b 의유일한해

=> 평행사변형이 유일하게 1개만 존재할 때